Первая космическая скорость v₁
Чтобы спутник двигался по круговой орбите у самой поверхности Земли (без учёта атмосферы), гравитационная сила должна быть равна центростремительной:
m·g = m·v₁²/R
Масса спутника сокращается:
v₁ = √(g · R)
Также можно записать через гравитационную постоянную: v₁ = √(G·M/R)
Расшифровка букв
- g — ускорение свободного падения у поверхности = 9,81 м/с²
- R — радиус Земли ≈ 6,371 × 10⁶ м
- G = 6,674 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг²
- M — масса Земли ≈ 5,97 × 10²⁴ кг
Пример расчёта v₁
v₁ = √(9,81 · 6,371 × 10⁶) = √(6,252 × 10⁷) ≈ 7 910 м/с ≈ 7,9 км/с
Вторая космическая скорость v₂
Чтобы покинуть поле тяготения Земли, нужно обратить всю кинетическую энергию на преодоление потенциальной:
m·v₂²/2 = G·M·m/R
Отсюда: v₂ = √(2·G·M/R) = √2 · v₁
Значение для Земли
v₂ = √2 · 7 910 ≈ 1,414 · 7 910 ≈ 11 200 м/с ≈ 11,2 км/с
Таблица: космические скорости для разных тел
| Тело | v₁ (км/с) | v₂ (км/с) |
|---|---|---|
| Земля | 7,9 | 11,2 |
| Луна | 1,68 | 2,37 |
| Марс | 3,55 | 5,03 |
| Юпитер | 42,1 | 59,5 |
Что происходит при разных скоростях
- v < v₁: тело падает обратно на Землю (или летит по параболе и падает)
- v = v₁: круговая орбита у поверхности
- v₁ < v < v₂: эллиптическая орбита вокруг Земли
- v = v₂: тело покидает Землю по параболе (выходит в межпланетное пространство)
- v > v₂: гиперболическая траектория, улетает навсегда
Частые ошибки
«Спутник не падает, потому что нет гравитации» — неверно. Гравитация есть, спутник постоянно «падает», но из-за боковой скорости «промахивается» мимо Земли. «Чем тяжелее спутник, тем быстрее нужно лететь» — тоже нет: из формул видно, что масса спутника сокращается.
